Group Schemes out of Birational Group Laws , Néron Models

— In this note, we present the theorem of extension of birational group laws in both settings of classical varieties (Weil) and schemes (Artin). We improve slightly the original proof and result with a more direct construction of the group extension, a discussion of its separation properties, and the systematic use of algebraic spaces. We also explain the important application to the construction of Néron models of abelian varieties. This note grew out of lectures given by Ariane Mézard and the second author at the Summer School ”Schémas en groupes” held in the CIRM (Luminy) from 29 August to 9 September, 2011. Résumé. — Dans cette note, nous présentons le théorème d’extension d’une loi de groupe birationnelle en un groupe algébrique, dans le cadre des variétés algébriques classiques (Weil) et des schémas (Artin). Nous améliorons légèrement le résultat original et sa preuve en donnant une construction plus directe du groupe, en apportant des compléments sur ses propriétés de séparation, et en utilisant systématiquement les espaces algébriques. Nous expliquons aussi l’application importante à la construction des modèles de Néron des variétés abéliennes. Cette note est issue des cours donnés par Ariane Mézard et le second auteur à l’École d’été ”Schémas en groupes” qui s’est tenue au CIRM (Luminy) du 29 août au 9 septembre 2011.